The Harmonic Series (2009)

'Just intonation' heet in het nederlands 'reine stemming' en is een manier van stemmen van je instrument(en) waarbij de verhouding van de frequenties van de tonen uit te drukken valt in gehele getallen. Voor zover ik kan afleiden uit de tekst in het cd-boekje kan dit op tenminste twee manieren bereikt worden.

In de eerste plaats kan je een grondtoon kiezen, bijvoorbeeld 50 Hz, en kies je dan boventonen van deze frequentie als je toonschaal, bijvoorbeeld 250Hz (1:1), 300Hz (6:5), 350Hz (7:5), 400Hz (8:5), 450Hz (9:5), en 500Hz (2:1)(het octaaf van 250Hz).

Een tweede manier om een reine toonschaal te krijgen is om uit te gaan van de gangbare 12-toons-stemming en de frequenties van de noten een klein beetje te manipuleren zodat ze uit te drukken zijn in gehele getallen. Pauline Oliveros heeft bijvoorbeeld een kant van haar accordeon laten stemmen als: De C als basistoon (1:1), en dan Des (16:15), D (9:8), Es (6:5), E (5:4), F (4:3), Ges (64:45), G (3:2), As (8:5), A (5:3), Bes (16:9) en B (15:8).

Als je mooie resonanties wilt creëren is het het beste als je deze gehele getallen zo klein mogelijk houdt, dan krijg je namelijk de langste overeenkomende boventonenreeks. Een andere benadering is om twee heel grote getallen te kiezen die vlak bij elkaar liggen, bijvoorbeeld (81:80), dan krijg je een zogeheten 'comma' (lees ik in het boekje), twee tonen die vlak bij elkaar liggen. Voor deze comma's zie ik het nut niet zo in van een reine stemming, volgens mij klinkt dat bij elk klein tooninterval mooi, maar misschien heb ik het mis.

Bij beluistering van deze cd is het raadzaam om het boekje, net als ik, tenminste eenmaal te lezen. Voor de soulseekers is dat hier ook te lezen. Ik vind het hele concept, zo bij eerste kennismaking, in ieder geval intrigerend en ik krijg bijna zin om me verder te verdiepen. Wat wel gezegd moet worden is dat deze cd een mooie inleiding is in reine stemmingen, maar wel een beetje de makke heeft van veel verzamel-cd's, het is een verzameling van losse nummers (excerpts soms zelfs) en de onderlinge binding ontbreekt een beetje.

Ik heb even zitten rekenen en als ik het goed heb wordt bij de reguliere getemperde stemming het octaaf onderverdeeld in 12 (halve) noten waarbij de frequentie van elke volgende halve noot ten opzichte van de vorige noot vermenigvuldigd wordt met een factor van de twaalfdemachtswortel van twee, ongeveer 1,05946. Uitgaande van de C als basistoon krijg je dan het volgende schema in de vorm Noot - interval = getemperde vermenigvuldigingsfactor / reine stemmings-factoren = reine vermenigvuldigingsfactor:

C - Prime = 1,0000 / 1:1 = 1,0000
Cis - ? = 1,0595 / ?
D - Secunde = 1,1225 / 9:8 = 1,1250
Es - ? = 1,1892 / 7:6 = 1,1667
Es - ? = 1,1892 / 6:5 = 1,2000
E - Terts = 1,2599 / 5:4 = 1,2500
F - Kwart = 1,3348 / 4:3 = 1,3333
Fis - ? = 1,4142 / 7:5 = 1,4000
G - Kwint = 1,4983 / 3:2 = 1,5000
As - ? = 1,5874 / 8:5 = 1,6000
A - Sext = 1,6817 / 5:3 = 1,6667
Bes - ? = 1,7817 / 9:5 = 1,8000
B - Septime = 1,8877 / ?
C' - Octaaf = 1,9999 / 2:1 = 2,0000

Goed, door afrondingsfouten kloppen de getemperde vermenigvuldigingsfactoren bij de laatste noten niet meer precies (het octaaf moet bijvoorbeeld precies 2,0000 zijn en geen 1,9999), maar ik zit een aardig eind in de goede richting zo. Wat opvalt is dat je met getallen onder de tien geen Cis en B kunt benaderen. Verder valt op dat de Es op twee manieren (7:6 en 6:5) rein is te maken, maar dat beide niet erg nauwkeurig zijn. Verder valt op dat de getemperde kwart en kwint erg dicht in de buurt liggen van de reine kwart en kwint.

Ik kan me opeens heel goed een dertien-toons reine toonschaal voorstellen, waarvan alle tonen voldoen aan een of meer van de volgende drie formules:

(n+1):n
(5+n):5
(2n-1):n
waarvoor geldt dat n een geheel getal is tussen 1 en 8 en dat de uitkomst tussen 1 en 2 ligt. Doordat het tweede getal lager dan 8 is ligt de grondtoon van deze twee frequenties nooit lager dan drie octaven( = 1:8) van de basistoon (A = 1:1). Doordat de uitkomst (van de breuk) tussen 1 en 2 ligt vallen alle gevonden tonen binnen het octaaf (dat hier misschien toepasselijker katorzet kan heten).

Je krijgt dan:

A = (1:1), B = (9:8), C = (8:7), D = (7:6), E = (6:5), F = (5:4), G = (4:3), H = (7:5), I = (3:2), J = (8:5), K = (5:3), L = (7:4), M = (9:5), A' = (2:1)

(E, I, M en A' voldoen alle vier aan twee van de genoemde formules)

(ehm, ik zie net dat ik eigenlijk ook de (11:6), (13:7) en (15:8) zou moeten toelaten volgens mijn eigen regels, maar ik wil eigenlijk geen getallen van 10 of groter. Ik zou dan wel bijna de 12e noot van de getemperde schaal cadeau krijgen (15:8) {die moet eigenlijk (17:9) zijn, maar daar kom ik dan echt niet bij})

Een ander manier om bijna dezelfde toonschaal te krijgen is om gewoon te zeggen dat de gevonden tonen moeten voldoen aan de verhouding p:q, waarbij q tussen 1 en 8 ligt, p tussen 1 en 9 en p:q tussen 1 en 2. Je krijgt dan de (9:7) -toon extra (die ligt mooi tussen de getemperde terts en kwart), de wiskundige onderbouwing is dan minder mooi, maar je bent wel mooi van die getallen boven de 10 af.

Overigens vind het opvallend dat de 12-toons getemperde toonschaal, wat in essentie een dissonante toonschaal is, toch zoveel goede benaderingen van reine tonen heeft, wat in essentie harmonische tonen zijn.

bericht verplaatst naar dit topic

goh interessant zeg.

Yep, dit is de weg naar ergens dieper horen, zeer bevredigend.

Alhoewel ik niet echt snap wat hier allemaal staat.. klinkt het wel interessant!