naar aanleiding van deze cd moest ik maar eens dit topic starten.

(dit bericht heb ik uit dat andere topic hiernaartoe verplaatst)

En zo rol ik in een wel heel mooie manier om een reine toonschaal te maken, namelijk met 1 enkele formule. Elke toon heeft in deze formule een 'spiegelbeeld'-toon volgens de volgende formule:

toon = (1+n):n , spiegelbeeldtoon = 2n:(1+n)

Vul je n=1 t/m n=8 in dan krijg je:

(1:1), (9:8), (8:7), (7:6), (6:5), (5:4), (4:3), (3:2), (8:5), (5:3), (12:7), (7:4), (16:9), (2:1)

Deze reine toonreeks vertoont erg veel overeenkomst met de getemperde 12-toons-toonreeks.

(n=2 en n=3 leveren dezelfde twee tonen!)

Op zich al een hele mooie toonschaal als je bedenkt dat er maar 1 formule aan ten grondslag ligt. Wil je hem af maken dan moet je eigenlijk een middentoon toevoegen. Voor deze middentoon moet je een n invullen die volgt uit (1+n):n=2n:(1+n), ik kan dat zo snel niet uitrekenen, maar je komt ongeveer uit op (7:5).

[edit: n = 1:(-1+V2) , waarbij V2 staat voor de wortel van twee. De toon wordt dan: (V2:1) ]

Ik weet dat ik wel een beetje off-topic ben met deze verhandelingen, misschien had ik beter een eigen topic kunnen openen op het forum onder de titel 'microtonaliteit' of 'reine stemming', mijn excuses daarvoor.

Voor de goede orde: microtonale stemmingen zijn alle manieren om je instrument te stemmen, die anders zijn dan de gangbare westerse getemperde 12-toons-stemming. Veel niet-westerse muziek maakt gebruik van alternatieve toonsystemen. Vroeger werd ook in het westen gebruik gemaakt van microtonale stemmingen, veelal reine stemmingen, totdat de getemperde stemming alle andere stemmingen zo goed als heeft verdreven.

Bij het getemperde 12-toonssysteem zijn alle intervallen tussen opeenvolgende tonen gelijk, dus het interval tussen een C en een Cis is precies gelijk aan die tussen bijvoorbeeld een Es en een E, of een A en een Bes. Deze verhouding tussen twee opeenvolgende getemperde tonen is: twaalfdemachtswortel van twee staat tot 1 (ongeveer 1,05946).

Bij reine stemmingen (just intonation) wordt de verhouding tussen de frequenties van twee noten uitgedrukt in gehele getallen. Bijvoorbeeld een reine terts (ongeveer de afstand tussen een getemperde C en E (=1,25991)) kan uitgedrukt worden in de verhouding (5:4) (=1,25000) wat betekent dat deze twee tonen een gemeenschappelijke grondtoon hebben waaruit je deze twee noten kunt krijgen door de frequentie voor de laagste toon met 4 te vermenigvuldigen en voor de hoogste toon door de frequentie van dezelfde grondtoon met 5 te vermenigvuldigen. Zou de grondtoon bijvoorbeeld een frequentie van 100 Hz hebben dan zou de lage toon (de basistoon) een frequentie van 400Hz hebben en de hoge toon (de reine terts) zou dan een frequentie van 500Hz hebben. Door de frequentie van de basistoon met de breuk 5:4 (vijf gedeeld door vier) te vermenigvuldigen, krijg je de frequentie van de reine terts {(5:4)x400=500)}.

Zo kan je alle tonen in een rein stemmingssysteem uitdrukken in een breuk van een basistoon. De reeks (1:1), (18:17), (9:8), (6:5), (5:4), (4:3), (7:5), (3:2), (8:5), (5:3), (16:9), (17:9), (2:1) vormt bijvoorbeeld een reine benadering van de getemperde 12-toons-stemming. Er zijn oneindig veel reine stemmingssystemen mogelijk.

Het voordeel van een reine stemming ten opzichte van een getemperde stemming is dat er meer natuurlijke resonanties optreden waardoor de muziek harmonisch gaat klinken. Het voordeel van de getemperde stemming is dat je muziekstukken eenvoudig kunt transponeren (hoger of lager afspelen), maar het gevolg is wel dat de muziekstukken meer dissonant klinken.

De meeste westerse muziekinstrumenten (zoals bijvoorbeeld het keyboard, de gitaar, de accordeon, de piano, de klarinet) zijn speciaal gemaakt voor de getemperde 12-toons-stemming, en het vergt dan ook enige inventiviteit om reine stemmingssystemen in de praktijk toe te passen. Met instrumenten als de viool, cello, trombone, harp, menselijke stem, is het wel goed mogelijk om stukken in reine stemmingen te spelen.

Om mijn eerste verhaal even compleet te maken, een nog fundamentelere manier om een rein stemmingssysteem te creëren is door gebruik te maken van de volgende formule:

de eerste (linker) spiegeltoon* = (m+n):n
de tweede (rechter) spiegeltoon* = 2n:(m+n)
waarbij m kleiner of gelijk is aan n.

voor elke m en n vind je de volgende belangrijke tonen (in volgorde van laag naar hoog):
grondtoon van de rechter spiegeltoon* (1:(m+n)) - grondtoon van de linker spiegeltoon* (1:n) - basistoon (1:1) - linker spiegeltoon* ((m+n):n) - middentoon* (V2:1) - rechter spiegeltoon* (2n:(m+n)) - octaaf (2:1). Door de frequentie van de basistoon met de gegeven breuk te vermenigvuldigen krijg je de desbetreffende toon. Vervolgens hoef je alleen nog maar de frequentie van je basistoon naar keuze in te vullen, te bepalen welke m's en n's je wilt gebruiken, en je hebt je eigen reine stemmingssysteem gemaakt.

(*de termen 'spiegeltoon' en 'middentoon' heb ik zelf maar even bedacht, ik vind deze termen wel toepasselijk, ik weet niet of er een officiële naam voor bestaat.)


De middentoon (V2:1) vormt de as van de zo gevonden spiegeltonen. De linker spiegeltoon verhoudt zich altijd tot de basistoon zoals het octaaf zich verhoudt tot de rechter spiegeltoon. Ook verhoudt de linker spiegeltoon zich altijd tot de middentoon, zoals de middentoon zich verhoudt tot de rechter spiegeltoon. De middentoon heeft precies dezelfde verhouding tot de basistoon als de getemperde Fis tot de C. De middentoon is zijn eigen spiegeltoon.

Bij n=m vind je de basistoon (1:1) en het octaaf (2:1) (als spiegeltonen).

Bij m=1 en n=(1,3,4,5,8,17) vind je dus de reine intervallen die erg dicht bij de getemperde 12-toons-reeks liggen (met de middentoon erbij ben je helemaal spekkoper).

Bij m=2 vind je weer andere reine intervallen, bijvoorbeeld: (7:5), (10:7), (9:7), (14:9). Voor elke andere m vind je een reine toonreeks met een eigen karakteristiek.

Je kan bijvoorbeeld ook n=5 als basis kiezen, en dan m tussen 1 en 5. Dan krijg je ook weer een toonreeks met een heel eigen karakteristiek: (1:1), (10:9), (6:5), (5:4), (7:5), (10:7), (8:5), (5:3), (9:5), (2:1) (links en rechts gaan nu wel door elkaar lopen)

Door voor m en n gehele getallen te kiezen (bijvoorbeeld priemgetallen) kan je eindeloos veel reine stemmingssystemen vinden. (een priemgetal is alleen deelbaar door 1 en door zichzelf. Bijvoorbeeld: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,.....enzovoorts)

Kies je m=1, en n tussen 1 en oneindig, dan vind je dicht bij de basistoon en zijn octaaf oneindig veel kleine reine intervallen, de zogenaamde comma's.

Door ook niet gehele getallen toe te laten als m en n kun je in theorie elk paar spiegeltonen vinden dat er binnen het octaaf bestaat, maar dat zijn dan niet meer noodzakelijkerwijs reine tonen.

Cd's in reine stemming die mij totnutoe zijn opgevallen zijn: glenn branca deep listening harmonic series voix bulgares

Een wel heel theoretisch verhaal, dit. Zo analytisch uitgekleed las ik nog nooit iets over muziek en echt doorlezen moet ik nog doen. Maar nu kom je met voorbeelden waaronder de bij mij zeer favoriete Bulgaarse stemmen, en waar wiskunde en muziek bij elkaar komt moet ik als liefhebber van beide echt wel een leespoging doen, vind ik.

Ik beloof niets, maar ook als ik niet met een zinnige inbreng kan komen, kan ik allicht nog een luisterbeurt gunnen aan de andere voorbeelden.

Dit album past ook wel in dit topic volgens mij.

La Monte Young - The Well-Tuned Piano

Een andere microtonaal toonsysteem maakt gebruik van kwarttoonsafstanden, de verhouding tussen opeenvolgende (kwart-)tonen is dan telkens de vierentwintigstemachtswortel van twee staat tot 1.

Ah, daar kom ik verder mee, want ik zie een link naar een uitgebreide uitleg over reine stemming. (ik ben nog maar een beginner in het veld, ik heb net een maandje de cd binnen die het allemaal in gang zette)

Een leuke toepassing van dit alles is dat je met deze leer van reine intervallen gelijkzwevende intervallen (en vooral accoorden) kunt vinden die toch behoorlijk harmonisch zijn. Neem C bijvoorbeeld als basistoon (1:1), dan volgt Cis (18:17), D (9:8), Es (6:5) of (7:6), E (5:4), F (4:3), Fis (7:5) of (10:7), G (3:2), As (8:5), A (5:3), Bes (16:9) of (9:5) of (7:4), B (17:9), C' (2;1).

Je hoeft niet heel erg slim te zijn om te zien dat (C, D, E, G) goed bij elkaar passen, ze hebben de C die drie octaven lager ligt dan de basistoon (1:8) als gemeenschappelijke grondtoon. Maar ook bijvoorbeeld (C, Es, Fis, As) zullen vermoedelijk erg goed samen klinken met de (1:5) als gemeenschappelijke grondtoon. Minder voor de hand liggend is dat (C, Fis, As, E) goed samen zullen klinken, maar deze noten vind je als je n=5 en m kleiner dan n kiest. Ook de Combinatie (C, Es, Fis, A) zal waarschijnlijk wel goed klinken omdat C de basistoon is, Fis de middentoon, Es en A twee spiegeltonen. (C, D, Fis, Bes) is hetzelfde verhaal. En, omdat het toch gelijkzwevende tonen zijn kun je de gevonden accoorden gerust een paar noten hoger spelen (transponeren), de onderlinge verhoudingen blijven dan gelijk.

Kortom, er valt nog wel enig praktisch nut in deze toonleer te ontdekken.

Oh, en ik weet nu waarom C (1:1), F (4:3), G (3:2) en Bes (16:9) samen zo goed klinken.

Overigens lijkt het me wel een uitdaging om met deze kennis een logisch microtonaal systeem te vinden dat volledig dissonant is.

Je zou eigenlijk eens moeten kijken naar het werk van Harry Partch. Hij heeft sowieso een eigen microtonale scale die naar hem vernoemd is. Daarnaast is hij ook een theoreticus op dit gebied.

Ja, het lijkt me leuk om me verder te verdiepen in dit onderwerp, wiskunde en muziek vind ik allebei erg boeiend al ben ik in beide zeker niet op een al te hoog niveau actief. He lijkt me wel handig om eerst de basis te begrijpen voordat ik me ga inlezen in allerlei ingewikkelde theorieën.

Op dit moment probeer ik te begrijpen wat de wiskundige reden is dat reine intervallen harmonischer klinken dan gelijkzwevende intervallen, ik heb door dat het te maken heeft met de boventoonreeksen van beide noten. Ik vermoed dat de boventonen van twee 'reine noten' dezelfde soort (reine) relaties tot elkaar hebben als de twee tonen zelf, en dat de boventonen ook meer logisch in de octaafreeks vallen, terwijl dit bij 'gelijkzwevende' tonen niet het geval is. Ik wil daar eens even wat aan rekenen.

Overigens moet ik even waarschuwen voor de door mij gebruikte terminologie, omdat ik alles zelf een beetje probeer te ontdekken en ik wat dingen in het engels gelezen heb kloppen niet alle door mij gebruikte woorden. Mijn 'getemperde stemming' moet geloof ik 'gelijkzwevende stemming' heten, Mijn 'spiegeltonen' zijn geloof ik het octaaf van de inverse, 'octaafreeks' heb ik ook net zelf maar even bedacht, enzovoorts. Maar de wiskunde klopt wel.

Trouwens hier even een voor de hand liggende link naar Harry Partch.

Overigens vind ik net een hele mooie reine toonreeks gebaseerd op machten van twee en drie, ik neem ook meteen de inverse reeks mee:

(1:1)=1,0000 -------------------------(2:1)=2,0000
(3:2)=1,5000 -------------------------(4:3)=1,3333
(9:8)=1,1250--------------------------(16:9)=1,7778
(27:16)=1,6875-----------------------(32:27)=1,1852
(81:64)=1,2656-----------------------(128:81)=1,5802
(243:128)= 1,8984------------------ (256:243)=1,0535
(729:512)=1,4238-------------------(1024:729)=1,4047
(2187:2048)=1,0678----------------(4096:2187)=1,8729
(6561:4096)=1,6018----------------(8192:6561)=1,2486
(19683:16384)=1,2014------------(32768:19683)=1,6648
(59049:32768)=1,8020------------(65536:59049)=1,1099
(177147:131072)=1,3515---------(262144:177147)=1,4798

Het valt op hoe mooi deze 24 intervallen over het octaaf verdeeld zijn. Als je je realiseert hoe goed de eerste 6 tonen al bij elkaar passen dan belooft dat wat voor deze hele reeks.

Stom dat ik het nu pas zie, maar de eerste veertien intervallen vormen een erg mooie benadering van de standaard 12-toons gelijkzwevende toonreeks, je moet dan wel een keuze maken welke toon je als middelste toon neemt, 1 van de laatste twee tonen of de gelijkzwevende middentoon, ze liggen alledrie erg dicht bij elkaar.


(1:1)=1,0000 -------------------------(2:1)=2,0000
(3:2)=1,5000 -------------------------(4:3)=1,3333
(9:8)=1,1250--------------------------(16:9)=1,7778
(27:16)=1,6875-----------------------(32:27)=1,1852
(81:64)=1,2656-----------------------(128:81)=1,5802
(243:128)= 1,8984------------------ (256:243)=1,0535
(729:512)=1,4238-------------------(1024:729)=1,4047

Je vindt deze toonreeks dus door als eerste factor een steeds 1 stapje hogere macht van 3 te nemen (729=3x3x3x3x3x3=3tot de zesde, 1=3tot de nulde), en als tweede factor een bijpassende macht van 2 (een aantal octaven!), en vervolgens de spiegeltoon van de gevonden toon.

Nog leuker: de originele linker toonreeks benadert ook de gelijkzwevende toonreeks, maar logischerwijs de rechter (spiegel-)toonreeks dan ook. Dit levert de mogelijkheid op om bijvoorbeeld een piano te stemmen op een manier waarbij je de opeenvolgende octaven om en om volgens deze twee reine toonreeksen stemt, dan krijg je telkens twee octaven lang noten die perfect de verhouding 3:2 of 3:4 met elkaar gemeen hebben.

(1:1)=1,0000 -------------------------(2:1)=2,0000
(3:2)=1,5000 -------------------------(4:3)=1,3333
(9:8)=1,1250--------------------------(16:9)=1,7778
(27:16)=1,6875-----------------------(32:27)=1,1852
(81:64)=1,2656-----------------------(128:81)=1,5802
(243:128)= 1,8984------------------ (256:243)=1,0535
(729:512)=1,4238-------------------(1024:729)=1,4047
(2187:2048)=1,0678----------------(4096:2187)=1,8729
(6561:4096)=1,6018----------------(8192:6561)=1,2486
(19683:16384)=1,2014------------(32768:19683)=1,6648
(59049:32768)=1,8020------------(65536:59049)=1,1099
(177147:131072)=1,3515---------(262144:177147)=1,4798

Als je de linkerreeks nog 1 stap verder doorzet vind je trouwens een comma: (531441:524288) = 1,0136433 {die ligt dicht bij de (74:73) = 1,0136986}.

dit is echt het "sluiswachter-ego-opkrik" topic

Oh, ehm, ja, dat zou wel goed voor me zijn geloof ik.

Cool topic. Heb me hier ook een tijdje in verdiept. Een aardig album is Revelation van Michael Harrison (hoewel minder interessant dan bovengenoemd werk van LaMonteYoung). Wat fragmentjes:






En hier nog wat leesvoer:
Tuning Information - kylegann.com

Weet je zeker dat dit ook voor een klarinet geldt? Ik speel zelf geen klarinet, maar ik weet wel dat blokfluiten anders worden gestemd (Kirnberger II dacht ik). Bovendien kun je daarbij met verschillende technieken (bijvoorbeeld iets harder of iets zachter spelen) de hoogte van de toon beïnvloeden, zodat je in principe zo rein kunt spelen als je wilt.

Detail: 1 wordt niet beschouwd als priemgetal.

Is dat niet gewoon een kwestie van een decimaal getal (dus geen geheel getal) kiezen voor n?

Dan heeft 'men' het mis, want 1 is alleen deelbaar door 1 en door zichzelf.

Nee, volgens mij levert dat niet noodzakelijkerwijs een volledig dissonante reeks op. Je moet, als het even kan met een mooie formule, getallen zien te vinden die niet heel dicht bij die van een reine reeks liggen. Aangezien er oneindig veel reine reeksen zijn te bedenken is dat nog wel een uitdaging.

Nee, ik weet dat inderdaad niet zeker. Ik weet alleen dat bij veel blaasinstrumenten de gaten op zeer specifieke afstanden zitten zodat je zeer specifieke tonen krijgt. Dat kunnen beïnvloeden van de toonhoogte door bepaalde technieken was mij niet bekend, maar ik vind het een interessant verschijnsel.

Ik denk trouwens dat het ook nog geen sinecure is om met instrumenten als viool en trombone rein te spelen volgens een bepaald systeem, je moet dan alles op het gehoor doen.

Een piano is natuurlijk wel makkelijk rein te stemmen, alleen zit je daarbij aan die (maximaal) twaalf toetsen per octaaf vast.

Wat interessant is aan de laatst door mij 'ontdekte' toonreeks (gebaseerd op machten van 2 en 3), is dat je in principe een hierop gebaseerd gitaar-achtig instrument met fretten kunt bouwen, omdat de verhouding 3:2 steeds in verschillende gedaantes terugkeert, in alle onderlinge verhoudingen van alle gevonden tonen.

Raad eens welk album ik vijf dagen geleden heb besteld? Een van de stukken van dit album staat op het 'harmonic series'-album dat de hele boel voor mij in gang zette. Ik vind het wel treffend dat jij dit album ook al ontdekt had. Er wordt natuurlijk ook niet heel veel westerse muziek in reine stemming uitgebracht.

Wikipedia: "Omdat het getal 1 maar een verschillende deler heeft, waardoor de hoofdstelling van de rekenkunde niet meer zou opgaan, wordt 1 niet meer als priemgetal opgevat"

Verder interessant topic, een van de weinige.

Ik ken dat. Daarom ben ik ook niet weg te slaan bij de lokale voetbalvereniging.
Dat vind ik namelijk een uitermate nare sport. En club.
Vooral bovenop blijven zitten, luidt het devies.

Precies. Overigens wordt om die reden ook weleens een andere definitie gegeven: een priemgetal is een getal dat precies 2 delers heeft (dus 1 voldoet daar niet aan).

Ik ben het er niet mee eens, ik vind 1 wel een priemgetal, een bijzonder priemgetal weliswaar, maar toch. Een arbitrair regeltje volgens welke het geen priemgetal zou zijn overtuigt mij niet, ik ben alleen van mijn standpunt te brengen door een principiële wiskundige reden waarom het absoluut niet als priemgetal kan zijn te beschouwen, niks minder. Hoe dan ook, je moet het getal 1 in ieder geval wel gebruiken, al is het maar voor de (1:1)-toon.

Tja, van eind 19e tot halverwege 20ste eeuw, is het getal 1 als priemgetal geleidelijk afgeschaft door wiskundigen. Dit is ook gewoon onderbouwd hoor en is genoeg over te vinden op het net. Het hiermee oneens zijn lijkt me dan ook alleen maar onzinnig.