@ frankmulder: revelation is nog niet binnen. Dat kan ook nog wel even duren bij nl-store.

@sietse: ik heb het niet over het delers, ik heb het over factoren. (een deler is een getal waardoor je je uitgangsgetal deelt, een factor is een getal, dat als je het vermenigvuldigt met de andere factoren het uitgangsgetal oplevert, een subtiel verschil, maar wel relevant als het om 0 gaat) Verder is mijn benadering toch wel net iets anders en eenvoudiger dan het verhaal dat op wikipedia staat, lees mijn stukjes nog maar eens goed! Je zou kunnen zeggen dat ik de totnutoe gangbare manier om getallen in factoren te schrijven heb gestroomlijnd (zo kan ik nu ook 0 als factor schrijven en dat kan de gangbare theorie niet eens, en de 1 als factor bij andere getallen dan 1 vervalt) en dat ik de priemgetallen ruimer en fundamenteler herdefiniëer als primaire getallen. En het past alletwee perfect in elkaar.

@zorin: Ja eigenlijk heb je gelijk en zou ik deze discussie verder moeten voeren op een ander forum, deze is in principe voor muziek. Mijn excuses dat het zo loopt.

Niets is door 0 te delen, hoe leuk dat ook zou zijn.. verder begrijp ik de link met muziek allang niet meer in dit topic..

Ik wacht met spanning af; ik heb hem zelf namelijk niet, dus ik ben benieuwd over je oordeel.


Eh, nee, er is geen verschil tussen delers en factoren... Deler - Wikipedia - nl.wikipedia.org

Ik snap wel wat je bedoelt (namelijk het verschil tussen a en b in 'a*k = b'), maar het heeft geen zin om bestaande wiskundige termen te gaan herdefiniëren. Dit leidt alleen maar tot verwarring, waardoor anderen je gaan corrigeren en het hele topic over niets anders meer gaat. (En ik zou er helemaal voorzichtig mee zijn om dan ook nog te beweren dat jouw definities beter zijn; dat komt alleen maar arrogant over.)

Om weer terug te komen op het onderwerp: wat vinden jullie van de bewering dat het gebruik van equal temperament in de westerse muziek verband zou hebben met onze gejaagde en stressvolle samenleving? Ik moet even opzoeken waar ik die bewering las, maar het kwam erop neer dat het zweven van een interval onrust veroorzaakt, terwijl de zuivere intervallen van just intonation wel rust geven.

Da's eentje voor in het plakboek. (Nou nog een plakboek kopen) Ik vind juist de onrust die de reine intervallen bij mij veroorzaken stimulerend. Maar dat is natuurlijk maar net een kwestie van waar je aan gewend bent.

Ik ben trouwens ook wel benieuwd naar het gebruik van reine stemmingen in niet-westerse muziek. Als iemand daar voorbeelden van heeft dan hoor ik dat graag.

Nee, het punt was juist dat reine intervallen géén onrust veroorzaken, maar zwevende intervallen wel (van de gelijkzwevende stemming bijvoorbeeld, die vrijwel uitsluitend wordt gebruikt in de westerse muziek).


Juist niet-westerse muziek staat bekend om zijn alternatieve stemmingen. Dat is dan ook waar de westerse Just Intonation-freaks hun inspiratie vandaan halen, bijvoorbeeld van de Gamelan.

En mijn punt is nu juist dat reine intervallen bij mij wel onrust veroorzaken en gelijkzwevende intervallen niet. Om het beter te zeggen: hoe je een bepaalde stemming ervaart is heel persoonlijk, en is afhankelijk van je ervaringen tot dan toe, daar zijn geen objectieve criteria aan vast te binden. Ik ben het wel met de schrijver eens dat de westerse wereld erg jachtig en haastig is, maar om dat nou aan de muziek toe te schrijven vind ik wat vergezocht. Overigens bestaat er genoeg muziek in gelijkzwevende stemming die juist rustgevend is.

Intussen is Revelation van Michael Harrison binnen en enkele malen beluisterd. Het is een heel aardig piano-album, de reine stemming maakt het wel extra bijzonder. Maar pas echt bijzonder is het album 'Change of Direction' van Ellen Fullman, dat ik ook pas binnen heb. Zij heeft haar eigen 'long string instrument' gemaakt dat bespeeld wordt met met hars gecoate vingers. Het resultaat daarvan is echt heel bijzonder en bovendien wondermooi.

Interessant! De dingen die ik op Youtube hoor zijn toch vooral drones. Staan er op die cd ook nog andere dingen? Iets met melodieën ofzo?

Als je niet van drones houdt zou ik de cd in ieder geval niet aanraden, maar er gebeurt inderdaad wel iets meer dan alleen maar een drone. Melodie is misschien een wat groot woord maar er zijn wel stukken die heel gevarieerd en ritmisch klinken. Wat mij vooral aanspreekt is de manier waarop er diepe resonanties ontstaan (de voortgebrachte geluiden gaan op een heel mooie manier galmen, het lijkt wel een beetje op hoe doedelzakken klinken), hoe eigenzinnig de muziek is opgebouwd, en vooral de durf om een zelfgebouwd instrument te gebruiken. Het enige minpuntje wat mij betreft is dat de drie muzikanten niet heel erg virtuoos zijn, de muziek hapert soms een beetje. Maar dat is dan ook alles.

Kort geleden werd mij door een vriend van me, die regelmatig helpt bij het vervoer en het plaatsen van concertvleugels van de firma Spanjaard, gevraagd of ik wel eens had gehoord van een microtonale stemming. Mijn antwoord was: nee.
Al snel ging ik op zoek naar informatie over dit onderwerp en kwam terecht op de contact-site van MusicMeter. Zonder veel tijd te hebben besteed aan het doorlezen van alle correspondentie betreffende genoemd onderwerp, zend ik hierbij een reactie vanuit een voor velen ongetwijfeld unieke hoek: die van de steel guitar, respectievelijk de pedal steel guitar.
Let in verband hiermee speciaal op de alinea beginnend met “LET OP!” in onderstaand betoog.
Om te beginnen even een uitleg over wat een steel guitar is. Een steel guitar is bij de oudere muziekliefhebbers waarschijnlijk beter bekend als de “Hawaiian gitaar”, een snaarinstrument dat doorgaans bij het bespelen op schoot (Amerikaans: lap) wordt gelegd en derhalve ook bekend staat als de “lap steel guitar”. Wat een pedal steel guitar is wordt daarna uitgelegd.
Wordt bij de “gewone” gitaar – alsook bij de luit, banjo, mandoline enz. – de toonhoogte van de snaren bepaald door het met de linkerhand (bij rechts spelenden) verlengen of verkorten van de klinkende snaarlengte door de snaren op in de gitaarhals ingelegde metalen staafjes (frets) te drukken, zo gebeurt dit bij de steel guitar met een grote, in de linkerhand gehouden soort “verplaatsbare fret”, de zogenaamde “steel bar”, doorgaans een roestvrijstalen, cilindrische staaf met ronde neus. Liggen de snaren bij een “gewone” gitaar vlak boven de hals, zo liggen de snaren bij de steel guitar verhoogd boven de hals. De frets zijn daarbij vervangen door fret-afbeeldingen die slechts dienst doen als positiemarkeringen voor het plaatsen van de steel bar. Door de bar tijdens het tokkelen van de snaren glijdend over de snaren te bewegen, ontstaat het karakteristieke effect dat bijna iedereen wel kent van de Hawaiian gitaar.
De wijziging van de klinkende snaarlengte is bij de steel guitar hetzelfde als bij de “gewone” gitaar, het verschil is echter dat op de “gewone” gitaar vaste toonhoogten worden gevormd (tenzij men de snaren opdrukt/optrekt), terwijl op de steel guitar elke toonhoogte kan worden geproduceerd, net als op andere fretloze snaarinstrumenten, zoals de viool, de cello, de contrabas enz..
De pedal steel guitar is een verdere ontwikkeling op de – non pedal – steel guitar. Bijna elke steel guitar – pedal of non pedal – is gestemd in een akkoord, hetgeen voor de non pedal steel guitar betekent dat er slechts een zeer gelimiteerde hoeveelheid verschillend samengestelde akkoorden op kan worden gemaakt. De pedal variant is voorzien van pedalen en kniehefbomen om de diverse snaren in toonhoogte te verlagen of te verhogen, waarbij gebruik gemaakt wordt van vaste, afstelbare stops en waardoor een enorm scala aan verschillend samengestelde akkoorden kan worden gevormd. Gebruikt men op “gewone” gitaren, banjo’s, mandolines enz. “grepen” (vingerzettingen) om verschillende akkoordsamenstellingen te maken, zo gebruikt men op de pedal steel guitar “pedalen en/of kniehefbomen”.

Toen ik in 1987 begon met een eigen productie van pedal steel guitars, moest ik me verdiepen in de verdeling van de posities van de fretafbeeldingen en kwam er al snel achter dat elke fret (zo noem ik dit verder maar) op eenzelfde percentage van de mensuurlengte lag als de volgende fret ten opzichte van de genoemde. Omdat octaven nu eenmaal geëerbiedigd moeten worden (wat zouden we moeten in een koor waar sopranen, alten, tenoren, baritons en bassen geen octaven in de juiste trillingsverhoudingen ten opzichte van elkaar zouden zingen!), lag het octaaf onomstotelijk op de helft van de mensuur (snaarlengte van steunpunt tot steunpunt), precies zoals Pythagoras en Zarlino ooit hadden vastgesteld. De tonen links van het midden van de mensuur (bij een rechtshandig bespeeld snaarinstrument) bleken te liggen op plekken die konden worden afgeleid uit de twaalfde machtswortel van 0,5 (de halve mensuurlengte). Invoering hiervan op de rekenmachine leidde tot het getal 0,943875, zijnde de lengteverhouding die elke fret tot zijn vorige opleverde als het gaat over het trillende gedeelte van de mensuur.
Toen ik de ligging van de 5de fret van links (waar de kwart ligt) en de 7de fret (waar de kwint ligt) berekende, kwam ik op andere waarden dan die welke lange tijd geleden door de heren Pythagoras en Zarlino waren berekend. De tonen met een reine trillingsverhouding ten opzichte van de volledige mensuur lagen op resp. 75% (de kwart) en op 66,67% (de kwint) van de mensuurlengte, terwijl de frets op resp. 74,915% en 66,742% bleken te liggen. Het werd me nog duidelijker dan tijdens mijn harmoniestudie in 1968, waarom ooit bij muziekinstrumenten met vaste toonhoogten een evenredige zwevende stemming was ingevoerd!!
Echter: als pedal steel guitar speler en bouwer kwam ik er al snel achter dat er veel grotere problemen zijn dan die welke betrekking hebben op de kwart en de kwint!!
De TERTS bleek namelijk de grootste boosdoener te zijn. De grote terts met een reine trillingsverhouding tot die van de volledige mensuur, ligt (en dat is ook wat Zarlino had ontdekt) op 80% van de mensuurlengte. De bijbehorende fret ligt evenwel op 79,37% van de mensuurlengte. Pedal steel guitars hebben meestal een mensuur van 616 mm. Een verschil van 80-79,37% levert bij die mensuurlengte een liggingverschil op van maar liefst 3,9 mm!!

Elke bespeler van een “gewone” gitaar kent wel het conflict tussen de 2de en 3de snaar van de gitaar. De 4 dikste snaren van de gitaar worden gewoonlijk in reine kwarten ten opzichte van elkaar gestemd. De op een na dunste snaar wordt ten opzichte van de dunste snaar eveneens in een reine kwart gestemd. Niks mis mee, zou je zeggen: allemaal reine toonafstanden. Maar ze vormen wel een “optelsom” die niet past in de evenredig zwevende stemming! Het grootste probleem treedt echter op tussen de 3de (op 2 na dunste) snaar en de 2de snaar. De 2de snaar (B) vormt de grote terts van de 3de snaar (G). Samen gespeeld veroorzaken ze het eerder aangehaalde conflict, dat zich uit in een hoorbaar “gejengel”. Kan de 2de snaar dan niet een beetje afwijkend gestemd worden? Het antwoord is nee. De terts van de drieklank kan immers bij elke “greep” (vingerzetting) op een andere snaar liggen!!
Samengespeelde ongelijk trillende intervallen geven niet alleen “gejengel”, ze werken negatief op de rijkheid van klank en hebben sowieso een negatieve invloed op de “sustain” van gespeelde akkoorden.

NU KOMT HET! De steel guitar en de pedal steel guitar zijn ZINGENDE instrumenten.
Beide typen instrumenten zijn bijna zonder uitzondering in een akkoord gestemd. De pedal steel guitar is bij uitstek geschikt voor het spelen van melodieën in drieklanken en soms zelfs in vierklanken. Teneinde de akkoorden zoveel mogelijk to laten ZINGEN (zonder “gejengel” en met een maximum aan “sustain”) zijn de tertsen in het akkoord waarin de pedal steel guitar gestemd is – maar dat geldt ook voor de non-pedal steel guitar) REIN gestemd ten opzichte van de grondtoon van het akkoord. Een voorbeeld: veel steel guitars (zowel pedal als non-pedal) zijn gestemd in een C6-akkoord. De grote terts E wordt dan 3-3½ Hz te laag gestemd, de kleine sext A wordt maar liefst 4 Hz te laag gestemd! De tonen E en A in de toonladder van C zijn bij verdere beschouwing in feite niet gelijk aan die in de toonladders van E of A! En daarmee hebben we al meteen enkele problemen van de “open” stemming van de steel guitar te pakken.
C6 is enharmonisch gelijk aan Am7. Als C als uitgangspunt geldt voor de hoogte van de stemming, dan is de A zo laag gestemd dat die toon NIET als uitgangspunt genomen kan worden. Als de toon C geheel of zo dicht mogelijk overeenkomt met die op klavierinstrumenten, dan staan de tonen E en A op de steel guitar totaal ongelijk met die op de klavierinstrumenten. Zolang men geen akkoorden gebruikt in de open stemming kan er evenwel van alles gedaan worden met de plaatsing van de steel bar om de hoogte van de “te lage” tonen enigszins te corrigeren, precies zoals het op ELK fretloos snaarinstrument (zoals de viool, cello enz.) met de plaatsing van de vingers gebeurt, maar in de “open stemming” heeft de steel guitar ondanks haar “zang- kwaliteiten” een zeker conflict tijdens het samenspelen met andere muziekinstrumenten. 15-20 jaar geleden vond men de oplossing: de gehele stemming 2-2½ verhogen! De buitengewone conclusie is nu: het “zingen” en “sustainen” door middel van de reine verhoudingen binnen de geproduceerde akkoorden blijkt dominant te zijn in het ten gehore gebrachte effect!!! Dat is bijzonder!
Maar de problemen – met name op de pedal steel guitar – zijn daarmee niet volledig opgelost en zullen dat waarschijnlijk ook niet worden.
Denk eens het volgende in: men maakt op een pedal steel guitar een dimakkoord. Doordat het akkoord een stapeling vormt van kleine terts toonafstanden, krijgt men op de pedal steel guitar een “optelsom” van tertsen die elk 3½ Hz groter zijn dan de niet-reine afstanden. Resultaat: de optelsom gaat VER uit boven het octaaf! Een overeenkomstig probleem geldt voor de plusakkoorden: de daarin voorkomende “optelsom” van grote terts toonafstanden die elk 3½ Hz kleiner zijn dan de niet-reine afstanden blijft VER binnen het octaaf. Dimakkoorden en plusakkoorden moeten dus ook op de pedal steel guitar qua intervallen in meer of mindere mate afwijkend worden ingesteld.
Terwijl vroeger (vóór de invoering van de evenredig zwevende stemming op de klavierinstrumenten) werd ontdekt dat 12 “opgetelde” kwinten niet overeen bleken te komen met 5 “opgetelde” octaven, blijkt – ik zeg dit nogmaals - dat de terts in feite een veel grotere boosdoener is dan de kwint! Alleen: de problemen met de kwint bezorgen de doorsnee toehoorder kennelijk sneller een onaangenaam gevoel dan de problemen met de terts.
Een vraag rijst nu: is het “griezelige” gevoel dat wordt teweeggebracht door een dimakkoord of een plusakkoord, niet in hoofdzaak het gevolg van de bijzondere spanning die binnen het akkoord wordt veroorzaakt door het “geweld” dat de tertsen wordt aangedaan?
Tot besluit nog iets. Moderne muziek bevat heel vaak de overgang (modulatie zo u wilt) van C(groot) naar E(groot), veelal gevolgd door een soort “ afdaling” langs de kwintencirkel: na E(groot) volgt A(groot), D(groot) en via G(groot) weer naar C(groot). Meestal gaat men direct van C(groot) naar A(groot), vervolgens D(groot) enz. Populair daarbij is het gebruik van septime-akkoorden (akkoorden met een kleine septime). Omdat voor de steel guitarist de toon E in het C-akkoord 3-3½ Hz lager is dan de toon E in het E-akkoord en de toon A in het C6-akkoord zelfs 4 Hz lager dan de A in het A-akkoord of Am-akkoord, doet dit soort overgangen hem – als hij tenminste goede oren heeft) vaak de haren te berge rijzen! Bespelers van klavierinstrumenten ervaren dit soort problemen waarschijnlijk in mindere mate, doordat ze gewend zijn aan vaste toonhoogten en vaste toonhoogteverhoudingen.
De bespelers van fretloze instrumenten hebben gelukkig de mogelijkheid om te allen tijde de meest aanvaardbare intonatie te kiezen!

ik heb hier echt geen zak van begrepen.

Maar wat een geniale post

Ik kon het aardig volgen. Leuk stuk inderdaad.

Voor mij was het destijds een openbaring dat noten geen vaste hoogtes hebben. Eigenlijk vervelend dat we opgezadeld zitten met een muzikaal systeem dat op geen enkele manier echt kloppend is te maken. Velen zien de gelijkzwevende stemming dan wel als de oplossing, maar als je gewoon even een mooie kwint (of terts, zoals Visvoer terecht zegt) wilt horen kom je daarmee niet aan je trekken. Maar als je dan met iets "reins" aankomt kan je weer niet lekker moduleren enzo...

Ach ja, misschien is dat juist wel het mooie, al die verschillende mogelijkheden, en de uitdaging van het vinden van een goede stemming. Eerlijk gezegd heb ik er in de praktijk tijdens het musiceren ook weer niet zo erg last van.

Hoera dus ook voor de viool, cello én contrabas! Die intonatie vergroot inderdaad de mogelijkheden om minieme nuances te geven aan de muziek. Zo is een mol en een kruis in theorie niet hetzelfde: want de noot wordt hiermee met 5/9 van een tel verlaagd/verhoogd. Hier valt mee te spelen op een standaard snaarinstrument (geen idee mbt blazers ed.). Bij een piano echter, worden deze mollen en kruisen gezien als hetzelfde en worden herleid naar één noot/toets. Bijgevolg kan gesteld worden dat een piano altijd vals en nooit 100% rein gestemd is. Maar er bestaan uiteraard (!) uitzonderingen op de regel. Verder raad ik jullie aan wat werk te beluisteren van Charlemagne Palestine en de laatste dubbelcd van Phill Niblock. Past perfect in de gedachtestroom van hierboven!

Waar ben ik nou weer terechtgekomen??