Da's goed hoor, ik houd je niet tegen. Ik vind echter dat 1 thuishoort in het rijtje getallen dat je niet kunt ontbinden in factoren, ik twijfel alleen nog over de 0.

Dit rijtje komt mij als ex-accordeonist eigenlijk verbazingwekkend bekend voor:

(1:1)=1,0000 -------------------------C
(3:2)=1,5000 -------------------------G*
(9:8)=1,1250--------------------------D*
(27:16)=1,6875----------------------A*
(81:64)=1,2656----------------------E*
(243:128)= 1,8984------------------B*
(729:512)=1,4238-------------------Fis*
(2187:2048)=1,0678----------------Cis*
(6561:4096)=1,6018----------------Gis*=As*
(19683:16384)=1,2014------------Es*
(59049:32768)=1,8020------------Bes*
(177147:131072)=1,3515---------F*
(531441:262144)=2,0273---------C'*

(*=bij benadering)

Ziet eruit als de kwintencirkel.

Ah, heet dat zo! Ik heb maar weinig opleiding in muziektheorie, 2 jaar amv en 7 jaar accordeonles, dat is waar ik het mee moet doen. Maar deze reeks vind je bij een accordeon dus terug in de knoppen-kant, bij mijn accordeon zijn dat de bassen, met de linkerhand gespeeld. Bij een knoppen-accordeon is geloof ik ook de rechterhand zo ingedeeld.

Dit hier zou je dan wellicht een reine kwintencirkel kunnen noemen.
[edit/] een reine kwinten-spiraal is een betere analogie. Ik begrijp ineens wat ik eigenlijk gedaan heb en waarom dit zo op de gelijkzwevende 12-toons-reeks lijkt. [edit]

Nog even een leuke microtonaliteitslink waar ik op ben gestuit. Of deze.

Even terug naar mijn oorspronkelijke formule:

de eerste (linker) spiegeltoon* = (m+n):n
de tweede (rechter) spiegeltoon* = 2n:(m+n)
waarbij m kleiner of gelijk is aan n.

Neem je nu [m=2p,n=(5+p)] met p={0,1,2,3,4,5}, dan vind je de volgende reeks:

(1:1), (18:17), (8:7), (14:11), (4:3), (3:2), (11:7), (7:4), (17:9), (2:1)

[edit/] aangezien deze reeks googelen niks relevants oplevert, neem ik aan dat ik de eerste ben die deze familie van tonen ontdekt. [edit]

Ahum, nog beter is natuurlijk [m=2p,n=(6+p)] p={0,1,2,3,4,5,6}

de eerste (linker) spiegeltoon = (m+n):n
de tweede (rechter) spiegeltoon = 2n:(m+n)
waarbij m kleiner of gelijk is aan n.

je krijgt dan ((6+3p):(6+p)) en ((12+2p):(6+3p)), waarbij je p=0 t/m p=6 dus moet invullen.

Neem De gelijkzwevende C als basistoon (1:1), voeg de gelijkzwevende Fis toe als middentoon en je hebt weer een mooie benadering van het gelijkzwevende 12-toonssysteem:

C = (1:1) = 1,0000
Cis = (22:21) = 1,0476
D = (10:9) = 1,1111
Es = (6:5) = 1,2000
E = (9:7) = 1,2857
F = (4:3) = 1,3333
Fis = (V2:1) = 1,4142
G = (3:2) = 1,5000
As = (14:9) = 1,5556
A = (5:3) = 1,6667
Bes = (9:5) = 1,8000
B = (21:11) = 1,9091
C' = (2:1) = 2,0000

Dit bijna allemaal bij benadering natuurlijk. Er zijn toch wel erg veel manieren om het standaard 12-toons-systeem volgens een wiskundige formule microtonaal te benaderen, zucht...

Dan moet ik nu even wat aan mezelf uitleggen, en natuurlijk ook aan iedereen die er in geïnteresseerd is. En dat gaat over harmonische reeksen oftewel natuurlijke boventoonreeksen oftewel 'the harmonic series'.

Neem je bijvoorbeeld een toon van 100Hz als grondtoon dan vind je bij deze toon een aantal natuurlijke boventonen die samen harmonisch klinken. Deze boventonen zijn 200Hz, 300Hz, 400Hz, 500Hz, 600Hz, 700Hz, 800Hz, 900Hz, enzovoorts.

Een andere manier om deze reeks op te schrijven is grondtoon=(1:1), boventonen: het eerste octaaf=(2:1), (3:1), het tweede octaaf=(4:1), (5:1), (6:1), (7:1), het derde octaaf =(8:1), (9:1), enzovoorts. (Je krijgt dus steeds meer natuurlijke boventonen in elk hoger octaaf)

Neem je nu twee willekeurige tonen uit deze natuurlijke boventonenreeks, bijvoorbeeld de (9:1) en de (7:1) dan verhouden deze twee tonen zich tot elkaar als 9:7 en (de inverse) 7:9. Anders geredeneerd: Schrijf je nu de laagste van de twee als (1:1) dan volgt de andere toon als (9:7), waarbij je de grondtoon als (1:7) moet schrijven. Deze Twee tonen zijn dus natuurlijke boventonen van een gemeenschappelijke grondtoon en klinken dus harmonisch samen.

omgekeerd geredeneerd zijn alle tonen die je als een verhouding van gehele getallen tot elkaar kunt schrijven dus natuurlijke boventonen van een gemeenschappelijke grondtoon, en zullen deze dus harmonisch samen klinken. Hoe kleiner de getallen, hoe dichterbij de gemeenschappelijke grondtoon ligt, en hoe harmonischer de twee tonen in theorie samen zullen klinken.

Neem je nu drie tonen met hetzelfde getal als 'noemer', bijvoorbeeld (19:17), (23:17), (25:17), dan hebben deze drie tonen een gemeenschappelijke grondtoon, te weten (1:17). Bij drie tonen met een verschillende noemer ligt het moeilijker, maar bijvoorbeeld (3:2), (5:3) en (7:5) hebben ook een gemeenschappelijke grondtoon, deze is (1:(2x3x5))=(1:30).

Zou je nu twee tonen nemen die zich niet als twee gehele getallen tot elkaar verhouden, bijvoorbeeld (V2:1) en (1:1), (dat zijn de gelijkzwevende Fis en C), dan vallen deze twee tonen in geen enkele natuurlijke boventoonreeks, in theorie moeten deze twee tonen samen dus dissonant klinken (in de praktijk blijkt dat echter nog wel mee te vallen).

Duidelijk!

De volgende reeks vind ik ook de moeite van het vermelden waard:

toon: ...........................spiegeltoon:
(30:30) = (1:1)...........(60:30) = (2:1)
(30:29)........................(58:30) = (29:15)
(29:27)........................(54:29)
(27:24) = (9:8)............(48:27) = (16:9)
(24:20) = (6:5)............(40:24) = (5:3)
(20:15) = (4:3)............(30:20) = (3:2)
(15:9) = (5:3)...............(18:15) = (6:5)

Ik maak gebruik van de volgende reeks getallen voor het linkerrijtje:
30-0=30
30-1=29
29-2=27
27-3=24
24-4=20
20-5=15
15-6=9

Er is vast een wiskundige notatie voor, maar die ken ik niet.

Als (s:t) de toon is, vind je de spiegeltoon met (2t:s)

N.B. vergelijk deze reeks eens met de eerder door mij gevonden reeks volgens ((1+n):n) en (2n:(1+n)) met n={1,2,3,4,5,8,17}, Het verschil is dat je voor de Cis en de B elk twee tonen vindt i.p.v. 1 toon elk, en dat de As en de E missen.

No offence, maar

Als je deze getallenreeks doorzet naar boven vind je de inverse reeks, die dus ook uit zichzelf de inverse tonen oplevert! (Je hebt dan dus geen aparte formule voor spiegeltonen meer nodig)

Je kunt de reeks ook naar beneden toe uitbreiden, dan vind je o.a. (8:5), de tot dan toe ontbrekende (noot) As!

9+6=15........(9:15) - een octaaf hoger -> (18:15) = (6:5)
15+5=20......(15:20) - een octaaf hoger -> (30:20) = (3:2)
20+4=24......(20:24) - een octaaf hoger -> (40:24) = (5:3)
24+3=27......(24:27) - een octaaf hoger -> (48:27) = (16:9)
27+2=29......(27:29) - een octaaf hoger -> (54:29)
29+1=30......(29:30) - een octaaf hoger -> (58:30) = (29:15)
-----------
30-0=30........(30:30) = (1:1)
30-1=29........(30:29)
29-2=27........(29:27)
27-3=24........(27:24) = (9:8)
24-4=20.........(24:20) = (6:5)
20-5=15.........(20:15) = (4:3)
15-6=9............(15:9) = (5:3)
------------
9-7=2...............(9:2) - twee octaven lager -> (9:8)
2-8=-6..............(2:6) - twee octaven hoger -> (8:6) = (4:3)
-6-9=-15...........(6:15) - twee octaven hoger -> (24:15) = (8:5) !!!!!!
-15-10=-25.......(15:25) - een octaaf hoger -> (30:25) = (6:5)
-25-11=-36.......(25:36) - een octaaf hoger -> (50:36) = (25:18)
-36-12=-48.......(36:48) - een octaaf hoger -> (72:48) = (3:2)
-48-13=-61........(48:61) - een octaaf hoger -> (96:61)
-61-14=-75........(61:75) - een octaaf hoger -> (122:75)
-75-15=-90........(75:90) - een octaaf hoger -> (150:90) = (5:3)
-90-16=-106......(90:106) - een octaaf hoger -> (180:106) = (90:53)
enzovoorts

,No offence.
Ik kan heel goed redenen bedenken waarom je de 1 en zeker de 0 niet als priemgetallen zou moeten beschouwen. Ik vind die redenen echter vrij arbitrair zoals ik al zei. Ik vind dat je deze twee getallen in ieder geval ook moet behandelen als je de priemgetallen beschouwt, ik vind het verder prima als andere mensen de 0 en de 1 niet opnemen in de reeks, ik doe dat wel, al was het alleen maar vanuit een praktisch oogpunt.

Nog Even over mijn laatste reeks, je vindt:

C = (1:1) =1,0000
Cis* = (30:29) = 1,0345
Des = (29:27) = 1,0741
D = (9:8) = 1,1250
Es = (6:5) = 1,2000
E = (5:4) = 1,2500
F = (4:3) = 1,3333
Fis = (25:18) = 1,3889
Ges* = (36:25) = 1,4400
G = (3:2) = 1,5000
As = (8:5) = 1,6000
A = (5;3) = 1,6667
Bes = (16:9) = 1,7778
B = (54:29) = 1,8621
Ces* = (29:15) = 1,9333

*=extra toon ten opzichte van de 12-toons-reeks

Op mijn eigen label is een cd uitgekomen van Jos Smolders (The Drone Gnome) waarbij het eerste nummer deels is opgebouwd uit de reeks van Fibonacci.
Dit zou je wellicht ook eens kunnen interesseren.

Jos Smolders - The Drone Gnome | Moving Furniture Records - movingfurniturerecords.bandcamp.com

Rij van Fibonacci - Wikipedia - nl.wikipedia.org

De 0? Het meest deelbare getal dat er is?

Ja, daarom eigenlijk, het is bij nauwkeurige beschouwing onmogelijk om 0 correct in factoren te ontbinden omdat het op oneindig veel manieren mogelijk is om 0 in factoren te ontbinden, zolang 1 van de factoren maar 0 is. Daarom vind ik hem wel in het rijtje passen.

Heb jij een eigen label, of zit je bij dit label? En met welke cd's van jou dan? Ik ben zolangzamerhand wel eens toe aan iets van orphax of zonderland.

ik heb een eigen label genaamd Moving Furniture Records, waar ik nog niets van mijzelf op uitgebracht heb (wat voorlopig ook niet de bedoeling is).
Enkele artiesten die ik heb uit gebracht zijn Jos Smolders, Erstlaub, Freiband, Christopher McFall.

Tot nu toe allemaal vrij abstracte electronica en drones (alleen H Stewart zit een meer pop-sausje aan), maar voor de toekomst ook wat lichter spul op komst en zelfs wat folk geïnspireerde improv.

Vrijwel alles kun je op de site gratis beluisteren (net zoals bij mijn eigen releases op mijn orphax website, en de zonderland releases op de zonderland website).

Een priemgetal is enkel deelbaar door zichzelf en door 1. Nul is dit dus niet.

Bij die definitie van priemgetallen is 1 wel een priemgetal en 0 niet.

Neem je als definitie dat priemgetallen alle getallen zijn die geen veelvoud van een getal van 2 of hoger zijn, dan vallen 0 en 1 er beide wel onder.

Er is ook vast wel een definitie te bedenken waarbij 0 en 1 er beide niet onder vallen, want het zijn nu eenmaal buitenbeentjes in deze reeks.

Het is dus puur een kwestie van definitie of je 0 en 1 priemgetallen noemt. Dat bedoel ik als ik zeg dat het arbitrair is.

Ja, dat klopt, maar bovengenoemde is slechts de basisdefinitie. Over 1 valt nog te twisten - niet wat mij betreft, maar goed. Het getal nul is iig echt pertinent uitgesloten. Ik snap dan ook niet dat je andere definities wilt hanteren die het getal nul als priemgetal rechtvaardigen, want die zijn er niet wanneer je de minimale eis stelt dat deze ook enigszins algemeen geaccepteerd moeten zijn.

Maar goed, laten we er maar over ophouden want dit leidt nergens toe zo.

Wat een onzin zeg, over die priemgetallen
Iedereen is natuurlijk vrij om zijn rij of reeks zo te kiezen als ie wil. Maar om nou een algemeen aanvaarde definitie te willen ombuigen... Dat is net zoiets als beweren dat bijv. het midden-oosten bij Europa hoort. Dat is ook arbitrair.

Noem jouw 'priemgetallen' anders gewoon sluiswachtergetallen, misschien word je er nog beroemd mee

Israël wel in ieder geval, anders zouden ze niet mee mogen doen aan Europees voetbal en het Eurovisie Songfestival.

Ja, ik snap niet waarom dit zo'n zware bevalling moet zijn. Ik vind gewoon dat 0 en 1 ook priemgetallen zijn. Daar heb ik persoonlijk goede redenen voor en die heb ik ook aangegeven. Het feit alleen al dat er historisch gezien zo veel discussie over is geweest geeft al aan dat het geen onomstotelijk feit is dat 0 en 1 geen priemgetallen zijn, maar zelfs al lag deze historie er niet, dan vind ik nog dat je gerust je een andere definitie mag overwegen zolang deze maar een zekere fundamentele grondslag heeft. In de wetenschap zijn alternatieve theorieën nu eenmaal broodnodig voor vooruitgang. Nou gun ik andere mensen dus best de vrijheid om een andere definitie van priemgetallen te gebruiken, ik snap alleen niet waarom mensen mij die vrijheid niet gunnen. Maar goed, als mensen persé 'narrowminded' willen zijn is een andere naam is misschien inderdaad de beste optie. Ik stel dan 'primaire getallen' voor. Dat zijn dan dus alle priemgetallen volgens alle redelijk denkbare definities. punt. Terug naar microtonaliteit, want daar gaat het hier uiteindelijk om.

Toch wel een heel primaire naam, 'primaire getallen', even een officiële definitie dan toch maar: Primaire getallen zijn gehele getallen die je niet kunt verkrijgen door andere gehele getallen te vermenigvuldigen.

Er is een analogie met de kleurenleer: primaire kleuren zijn kleuren die je niet kunt verkrijgen door andere kleuren te vermengen. (ik heb ooit nog eens iemand perplex doen staan door 'primair' rood te maken door gele en magenta verf te mengen. Er zijn namelijk twee verschillende manieren om kleuren te mengen, additief en subtractief geloof ik, bij de ene zijn rood groen en blauw de primaire kleuren, bij de andere geel, cyaanblauw en magenta)

Maar ik ben nu wel erg off-topic.

stel: 7=1x1x1x7, is 7 nu geen priemgetal meer? en 1=1x1x1x1? en 4=2x2x1, slechts twee verschillende delers, dus een priemgetal? Of moet je 4 ook als 1x4 schrijven, maar waarom 1 dan niet als 1x1? En 0, moet je dat schrijven als 1x0? Of 0x0x0x0x0? of 0x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x...enz?

Volgens mij is het onzinnig om zo te proberen nul in factoren te schrijven, net zo onzinnig als het is om 1 in factoren te schrijven, net zo onzinnig als het is om 7 in factoren te schrijven. Nee, je moet de overbodige dingen weglaten, 0 is gewoon 0, 1 is gewoon 1, 7 is gewoon 7, en 4 is gewoon 2x2 als je getallen in factoren wilt ontbinden. Al het andere is overbodig.

Hanteer je dan mijn definitie voor primaire getallen, dan is alles opeens veel eenvoudiger. Laat bij het ontbinden in factoren geen factoren toe die de waarde van het te ontbinden getal niet veranderen, en al je andere problemen zijn opgelost. Primaire getallen zijn dan getallen die uit slechts 1 factor bestaan, alle andere getallen bestaan uit meer. Simplicity Rules!

Anders gezegd, ik hoef op mijn manier maar een extra regeltje te maken om alles kloppend te krijgen. (=Laat bij het ontbinden in factoren geen factoren toe die de waarde van het te ontbinden getal niet veranderen)

Doe je het op de ouderwetse manier dan moet je een apart regeltje maken voor het al dan niet kunnen ontbinden van 0 in factoren, eentje voor het ontbinden van 1 in factoren, eentje voor het gebruik van 1 als factor bij andere getallen en eentje voor het niet toelaten van 1 als priemgetal, ook 0 is dan geen priemgetal, maar 0 en 1 horen ook niet thuis in het rijtje 4,6,8,9,10,12,14,15,...enz, dus je moet weer twee aparte categorieën maken om 1 en 0 in onder te brengen. En dan moet je deze regeltjes ook nog kunnen rechtvaardigen. Kortom, hopeloos ondoorzichtig.

Volgens mij staat het zelfs op wikipedia simpeler uitgelegd dan jij probeert te doen.
En dan nog simpeler (zoals ik het zou zeggen)
Je kunt niet delen door 0 dus 0 doet hoe dan ook niet mee.
1 is niet deelbaar door 2 verschillende gehele getallen, alleen door 1. Dus doet niet mee.

Kunt er hoog of laag omspringen, maar dat is de afspraak bij de priemgetallen. Verder hoef je het er niet meer over te hebben.

Maak het nou niet verwarrender dan het is. Het gaat over de delers van de getallen, en niet omgekeerd. De opmerking 'je kunt niet delen door 0' is dus niet relevant. De opmerking dat 0 door oneindig veel getallen deelbaar is wel (behalve door 0 misschien, maar daar ga ik me niet aan wagen ). Om die reden is 0 geen priemgetal.

Hoe bevalt Revelation trouwens, sluiswachter?

Is dit het wiskunde-topic ?.... (ik ben een Alfa en heb er ook één... )

Komt eigenlijk op het zelfde neer